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教好《相交线与平行线》的几点思考

作者:李 楠 栏目:2019年-1期 教学研究

        相交线与平行线是人教版七下第五章内容,这章内容是空间与图形所要研究的基本问题,也是学生开始比较系统地研究几何图形的初始章节。教师引导学生学好这部分知识,笔者认为可从以下几部分着眼。

  一、明确地位和作用

  数学知识与知识之间存在着内在的逻辑关系,教者如果清楚所要教的知识点是从哪里来,又要到哪里去,教起来就会得心应手,学生学起来也会轻松自如。因此,教者首先应清楚相交线与平行线这部分知识在整个教材中的地位和作用。

  相交和平行是平面内不重合的两条直线的位置关系, 是学生开始研究几何的开始。这部分知识以及知识所体现的基本思想和方法是后续学习三角形、四边形、相似形、图形与坐标以及圆等章节的重要基础。同时从这章开始,学生要学会由说点理儿到简单推理,再到用符号来表示推理过程,是完成从实验几何到论证几何的关键章节,不仅要求学生能够在已有的知识经验基础上,通过观察、动手操作、探究、归纳的方法得出图形的相关性质,还要学习通过简单推理得到数学结论的方法,培养言之有据的思考习惯,感受推理论证的作用。这部分内容书中安排了相关的习题加以训练,把思路给学生,让学生来体会条件与条件,条件与结论、条件与依据、结论与依据的关联性,从而学习如何有条理地进行推理。

  学生在七年级上册中学到了直线射线线段和角的相关知识,结合余补角性质可以推出相交线中对顶角相等的性质,而这一性质和邻补角定义为后续的计算和证明提供了前提条件。

  垂直是相交的一种特殊位置关系,由角的数量关系得到两条直线的位置关系,为后面的平面直角坐标系及坐标的表示做铺垫。后面垂直出现在平行线的判定中时,学生容易出现因为垂直所以平行的问题,我们在教学中要纠正这一不严谨性。利用垂线的画法可以得到三角形和一些特殊四边形的高,在求面积时应用广泛,是常作的辅助线之一。应用垂线段最短的性质可以证明三角形三边关系定理。本章学到的垂线段最短的性质与七上学到的两点之间线段最短将作为求最短路径问题的依据,借助平移及后续学习的轴对称的知识作出最短路径的选择。

  平行线的性质和判定是学习推理说明的开始,是进一步学习几何知识的基础,也是中考考点之一,多以选择填空计算为主,难度不大,在解答题中为一些重要结论提供前提条件和基础结论。平行线的性质是今后得出角的关系的重要依据,在计算和证明中应用广泛。它和判定经常结合使用,由角之间的关系得出直线平行,进而再得出其他角之间的关系,或是由直线平行得到角之间的关系,再得出其他直线平行,这就为后续的三角形全等、相似、四边形性质等的有关证明提供了可以转化的条件。例如:求方位角的度数问题需要借助方向线的平行关系进而得到角的关系来加以解决,这些都是平行线的性质的重要应用。再有由平行线的性质和平角定义可以证明三角形内角和定理,书中习题5.3拓展探索中11题安排了这个问题,我们在具体教学中可以进一步问学生这条直线起到了什么样的作用?如果没有这条直线又该怎么办?引导学生作辅助线。除了这样做辅助线之外,还可以怎么作?后续还可以结合此定理求三角形的一个内角或外角。

  七上我们己经学习了两点之间的距离,本章学习直线外一点到直线的距离,两条平行线间的距离将在八下继续学习,教材在这里遵循了循序渐进的原则,因此要注意各部分知识的衔接。

  平移是一种基本的图形变化,它的概念和基本性质在实际生活中应用广泛,利用平移的不变性解题能使过程更为简便。例如:利用平移可以由平行四边形引出菱形的概念;在求线段的长度或图形的面积时,根据平移性质利用等量代换,可以将零散的线段或面积平移到一起,利用整体思想求解是一种巧妙的方法;并且平移与轴对称和旋转是研究全等及解决实际问题中常用的一种特殊方法。学生学习几何变换是用联系的运动观点认识几何图形,有利于找到变化中的不变量,从而学习如何抓住事物的本质属性,为几何推理论证提供思路和方法,同时更有利于发展空间想象能力。如果不讲几何变换,单纯练习几何证明,或者重视几何变换,不重视几何证明,或虽二者都讲但不能将二者有机结合,学生不认识二者之间内在联系,头脑中思维可能会“模式化”,思维能力、推理能力不能得到充分发展,直接结果是证明题没有思路或有思路不能有条理的表述,尤其是全等三角形一章,很多条件和结论都是借助图形变换得来的,这就要求能用图形变换的思想看出复杂图形中的基本图形,先找到两个图形全等,再研究构成全等所需条件,才能打开思路的突破口。因此要重视平移的教学,为学生打好基础。

  二、掌握知识要点

  教者要在明确本部分内容在教材中的地位和作用后,梳理好这一章节的知识要点,做到心中有数。笔者在研读教材的基础上,梳理如下知识要点。

  相交线:了解垂线段最短;了解点到直线的距离;理解邻补角对顶角的概念;理解垂线垂线段的概念;掌握对顶角相等;掌握平面内过一点有且只有一条直线与己知直线垂直;会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;会度量点到直线的距离。

  平行线及其判定,平行线的性质:了解平行公理及其推论;理解平行线的概念;掌握平行线的性质和判定方法;会用三角尺和直尺过直线外一点画己知直线的平行线;会识别同位角内错角同旁内角;会度量两条平行线间的距离。

  平移:了解平移;理解对应点连线平行且相等的性质;能按照要求做出简单平面图形平移后的图形;会利用平移进行简单的图案设计

  本章的重点是垂线的概念与平行线的判定和性质,学好这部分的关键是要使学生理解与相交线平行线有关的角的知识,尤其是三线八角要有充分的认识。因为两直线的位置关系是通过有关角的知识反映出来的。

  难点是让学生逐步学会推理。在七上的直线射线线段以及角的学习中,学生己经初步学习了如何说点儿理,接下来我们不仅要使学生在观察、思考、探究、归纳的前提下得出概念和性质,还要使学生能有根据的进行简单说理。对于学生来说,由什么条件得出什么结论,根据什么,这些还很陌生,需要教师的引导和帮助。

  三、落实数学思想

  引导学生学习本章节数学知识的同时,要渗透落实如下数学思想。

  (1)转化思想:在数学里,把一个对象转化为另一个对象,常常可以化繁为简,化未知为己知,从而达到解决问题的目的。本章在研究垂线时,转化为直角加以研究;在研究平行线时,将平行线的位置关系转化为角的数量关系或是将角的数量关系转化为平行线的位置关系;探讨平行线的判定的方法中,把内错角相等转化为同位角相等,同旁内角互补转化为同位角、内错角相等来加以证明;在研究平移时,将图形的平移转化为点的平移。

  (2)图形变换的思想:在平移知识中有所体现。

  (3)数形结合的思想:在几何教学中这一思想无处不在。

  (4)方程的思想:利用未知数表示有关的量,列出方程,通过解方程来求出问题的解。是几何与代数知识相结合的一种体现,它可以使解题思路清晰,过程简便。在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛。

  (5)构造思想:当遇到的几何问题直接解决比较困难时,可通过对图形添加辅助线来解决。如拐点问题。

  四、具体教学建议

  1.加强直观教学,密切联系实际

  本册书在编排时就考虑到了七年级学生的认知特点,对于从实际问题抽象出来的几何图形、概念、定理和一些基本事实理解起来会有困难,因而教学内容要尽量贴近学生生活,以实际问题为出发点,引入概念、性质和定理。通过观察、动手操作、探究归纳等一系列活动来引导学生发现一些基本结论。如对顶角、邻补角的引入;垂线段最短的问题;垂直和平行的定义等等。因而教师在教学中应借助于教具、实物、模型、图形、多媒体等手段,加强直观教学,帮助学生理解分析问题,如通过对角度的测量猜想出邻补角互补,对顶角相等及平行线的性质等,通过直观感知和动手操作进行抽象概念的学习,再用所学知识解决澳门威尼斯人网投的实际问题。教材要体现具体——抽象——具体的过程。     

  2.遵循循序渐进的原则,对学生进行技能训练

  (1)推理能力的训练:由说点儿理到说理再到简单推理,最终学会用符号来表示推理过程。书中是用填空的方式来引导学生逐步学会推理的,而我们要在教学中要求学生能用较准确的语言表达学过的概念、性质,学会一些简单的基本的推理语言,如因为…所以…,由…得…等。并用符号语言表达简单推理过程,为后面的推理过程做好铺垫。

  (2)画图能力的训练:本章的性质公理定理多是通过画图操作得出的,如平移中就有通过画出雪人来找到对应点连线的数量和位置关系。因而对学生进行画图训练,养成用图形表达数学问题和数量关系的习惯有助于对问题进行理解和分析。要逐步从给题会标图到给题会画图再到会正确叙述添加的辅助线:延长…至…,使得…过点…,作…平行于…,过点…作…垂直…于…。

  (3)几何语言的训练:教科书在通过说理的方式得出了对顶角相等的性质的基础上,进一步把这个过程写成了因为…所以…的形式;把利用垂直的定义判断角的关系的推理过程写成了因为…所以…的形式;后面的在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条的过程中,采用严格的证明形式等等,这样安排就是为了让学生逐步养成言之有据的习惯,并逐步学会用符号语言表达推理过程。因而可以强化简单的规范推理训练。书中有很多推理步骤具有代表性的题目。

  (4)文字语言符号语言图形语言相互转化的训练:除了刚才说到的公理定理这种文字语言要用符号语言来表示之外,我们让学生画图的过程就是把文字语言转化为图形语言,同样也可以适当练习给学生图形让学生能够用语言表述图形的意思,这也为辅助线作法的叙述做了铺垫。

  3.注重教材的开发和利用

  对教材的例题和习题进行一题多变、一题多问、一题多解的变式练习,并且注重图形的分析,就一个图分析透彻,避免就题论题。这样可以培养学生的发散思维,达到事半功倍的教学效果。因此,应重视书中例题和习题,把书中习题纵向深挖,再将教辅材料中典型题方法好的题拿出来铺设好几个小问题后再给学生做横向拓展,这是以点带面的做法,学生一旦学会了就打开了思路,会了一类题,长此以往,学生不但解题思路得到了训练,而且可以对同类型题进行归类,在这个过程中最重要的是促进了学生的思考,而不是泛泛地应付作业。当然这就需要我们老师多做题多研究,才能把习题整合起来。

  另外,在给出问题的方式方法上,也可以多元化,可以和条件结论互换,或条件开放,结论开放等,这些都是提高学习效率的好方法,有些题还可将问题适当延伸,看看还能得到什么结论,也要分析多个思路的共性,对学生的思路不能禁锢,要广开言论,言之有据即可。在这个过程中学生会达到自悟、自省的学习效果,进而提升学生的思维品质。

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